درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 2: تابع لگاریتمی و ویژگیهای آن
بسیاری از اندازهگیریها در علوم مختلف، طیف وسیعی از اعداد را در برمیگیرد که برای سادگی محاسبات، میتوان آنها را توانهایی از یک عدد خاص در نظر گرفت و اندازههای بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد یا اندازههای بسیار کوچک را در ابعاد مناسب نمایش داد. کاربرد این سادهسازی محاسبات در علوم مختلف مانند فیزیک، شیمی، زیستشناسی، زمینشناسی، جمعیتشناسی، مهندسی و... مشهود است.
تابع لگاریتمی
فعالیت (صفحه 105 تا 106 کتاب درسی)
در درس اول با تابع نمایی با ضابطهٔ $f(x)={{2}^{x}}$ و نمودار آن آشنا شدیم. همانطور که مشاهده کردیم، این تابع یکبهیک است؛ بنابراین وارون آن نیز یک تابع است. نمودار تابع $f$ و وارون آن، تابع ${{f}^{-1}}$ در دستگاه مختصات زیر رسم شده است که نسبت به خط $y=x$ قرینهاند.
1) دامنه و برد دو تابع $f$ و ${{f}^{-1}}$ در نمودار قبل را بهدست آورید.
2) با توجه به نقاط $f$ و ${{f}^{-1}}$ در نمودار، جدول زیر را تکمیل کنید.
| $f(2)=.......$ | $f(0)=.......$ | $f(-1)=.......$ | $f(-2)=\frac{1}{4}$ |
| ${{f}^{-1}}(4)=.......$ | ${{f}^{-1}}(1)=.......$ | ${{f}^{-1}}(\frac{1}{2})=.......$ | ${{f}^{-1}}(\frac{1}{4})=.......$ |
فعالیت (صفحه 106 تا 107 کتاب درسی)
نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)={{3}^{x}}$ در دستگاه مختصات زیر رسم شده است.
1) با توجه به نقاط نمودار $f$، نمودار ${{f}^{-1}}$ را رسم کنید.
2) با توجه به نقاط $f$ و ${{f}^{-1}}$ در نمودار قبل، جاهای خالی را تکمیل کنید.
| $f(.......)=9$ | $f(1)=.......$ | $f(0)=.......$ | $f(-2)=\frac{1}{9}$ |
| ${{f}^{-1}}(9)=.......$ | ${{f}^{-1}}(.......)=1$ | ${{f}^{-1}}(1)=.......$ | ${{f}^{-1}}(\frac{1}{9})=.......$ |
3) دامنه و برد دو تابع $f$ و ${{f}^{-1}}$ را بهدست آورید.
با توجه به مطالب فوق، وارون تابع با ضابطهٔ $f(x)={{3}^{x}}$ را بهصورت ${{f}^{-1}}(x)={{\log }_{3}}x$ نشان میدهیم و آن را لگاریتمِ $f$ در مبنای 3 مینامیم. به عبارت دیگر توابع نمایی و لگاریتمی وارون یکدیگرند.
4) با توجه به نمودار توابع نمایی و لگاریتمی، دامنه و برد آنها را بهطور کلی بنویسید.
کار در کلاس (صفحه 107 کتاب درسی)
در شکل زیر، نمودار شش تابع رسم شده است که دو به دو وارون یکدیگرند. برای توابعی که ضابطهٔ آنها نوشته شده، ضابطهٔ وارون آنها را روی نمودار مربوطه بنویسید و دامنه و برد هر تابع را مشخص کنید.
کار در کلاس (صفحه 107 تا 108 کتاب درسی)
نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x$ را در نظر بگیرید. اعداد زیر بین کدام اعداد صحیح قرار دارند؟
${{\log }_{\frac{1}{2}}}3$ (الف
${{\log }_{0/5}}(1/5)$ (ب
نمودار چند تابع لگاریتمی در زیر رسم شده است. ضابطهٔ مربوط به هر کدام را بنویسید.
|
|
|
|
|
|
|
|
فعالیت (صفحه 108 تا 109 کتاب درسی)
با توجه به مطالبی که تا به حال خواندهاید، جملات زیر را تکمیل کنید.
1) دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $(a\gt 1)y={{\log }_{a}}x$، مجموعهٔ اعداد حقیقی مثبت و برد آن .............. است.
2) دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $(0\lt a\lt 1)y={{\log }_{a}}x$، بازه .............. و برد آن .............. است.
3) نمودار توابع فوق، محور $x$ها را در نقطهٔ .............. قطع میکند و محور $y$ها را قطع نمیکند.
4) این دو تابع، یکبهیک .............. زیرا خطوط موازی محور $x$ها، نمودار آنها را حداکثر در .............. نقطه قطع میکند.
5) وارون تابع نمایی، تابع .............. است و وارون تابع لگاریتمی، تابع .............. است.
نمودار تابع لگاریتمی در حالت کلی، مشابه نمودارهای زیر است.
لگاریتم یک عدد
فعالیت (صفحه 109 تا 110 کتاب درسی)
نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)={{2}^{x}}$ و ${{f}^{-1}}(x)={{\log }_{2}}x$ را در نظر بگیرید.
با توجه به نقاط این دو نمودار، جدول زیر را تکمیل کنید.
| ………… | ${{2}^{2}}=4$ | ………… | ${{2}^{{}^\circ }}=1$ | ${{2}^{-1}}=\frac{1}{2}$ | ${{2}^{-2}}=\frac{1}{4}$ | نمایی |
| ${{\log }_{2}}8=.......$ | ………… | ${{\log }_{2}}2=1$ | ………… | ${{\log }_{2}}\frac{1}{2}=.......$ | ${{\log }_{2}}\frac{1}{4}=-2$ | لگاریتمی |
بهطور کلی اگر ${{a}^{y}}=x$ آنگاه ${{\log }_{a}}x=y$ و بهعکس $(x\gt 0\,\,\,,\,\,\,a\ne 1\,\,\,,\,\,\,a\gt 0)$)
کار در کلاس (صفحه 110 کتاب درسی)
جدول زیر را مانند نمونه تکمیل کنید.
| ${\log _8}1 = 0 \to {8^0} = 1$ | ${10^3} = 1000 \to {\log _{10}}1000 = 3$ |
| ${{\log }_{2}}(\frac{1}{16})=-4\to {{2}^{-4}}=.....$ | ${{9}^{\frac{1}{2}}}=3\to {{\log }_{9}}3=.....$ |
| ${{\log }_{5}}125=3\to {{5}^{3}}=.....$ | ${{4}^{3}}=64\to {{\log }_{4}}64=.....$ |
| ${{\log }_{\frac{1}{3}}}27=-3\to .....=.....$ | ${{4}^{5}}=32\to .....=.....$ |
| ${{\log }_{\frac{1}{5}}}125=.....\to .....=.....$ | ${{2}^{-3}}=.....\to .....=.....$ |
| ${{\log }_{\frac{1}{2}}}16=.....\to .....=.....$ | ${{3}^{-4}}=.....\to .....=.....$ |
تذکر
لگاریتم در مبنای 10 را لگاریتم اعشاری مینامیم. در این حالت معمولاً مبنا نوشته نمیشود، یعنی بهجای ${{\log }_{10}}a$ مینویسیم $\log a$.
ویژگیهای لگاریتم
فعالیت (صفحه 111 کتاب درسی)
1) اگر $a$ عدد حقیقی مثبت $(a\ne 1)$ باشد، همواره داریم:
${{\log }_{a}}(\frac{1}{a})=-1$ و ${{\log }_{a}}a=1$ و ${{\log }_{a}}1=0$
2) برای اعداد حقیقی و مثبت $a$ و $b$ و $c$ $c\ne 1$ داریم:
${{\log }_{c}}ab={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b$
اثبات: فرض کنیم $m={{\log }_{c}}a$ و $n={{\log }_{c}}b$، پس طبق تعریف $a=.....$ و $b=.....$، از این رو ${{c}^{n}}=.....$. $ab={{c}^{m}}$ بنابراین طبق تعریف لگاریتم داریم: ${{\log }_{c}}ab=.....$ و در نتیجه:
${{\log }_{c}}ab={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b$
مثال: فرض کنید $\log 2\simeq 0/3$ و $\log 3\simeq 0/48$، مقدار $\log 6$ را حساب کنید.
$\log 6=\log (3\times 2)=\log 3+\log 2\simeq 0/48+0/3=0/78$
3) اگر $a$ و $b$ اعدادی حقیقی و مثبت و $a\ne 1$ و $n$ یک عدد طبیعی باشد، داریم:
اثبات:
${{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}\overbrace{b.....b}^{n}=\underbrace{{{\log }_{a}}b+.....+{{\log }_{a}}b}_{n}=n{{\log }_{a}}b$
4) برای اعداد حقیقی و مثبت $a$ و $b$ و $c$ $(c\ne 1)$ داریم:
${{\log }_{c}}(\frac{a}{b})={{\log }_{c}}a-{{\log }_{c}}b$
اثبات: فرض میکنیم $\frac{a}{b}=d$. بنابراین:
$a=bd\to {{\log }_{c}}a={{\log }_{c}}b+{{\log }_{c}}d\to {{\log }_{c}}d={{\log }_{c}}a-.....$
${{\log }_{c}}\frac{a}{b}=.......-{{\log }_{c}}b$
مثال: اگر $\log 2\simeq 0/3$، مقدار $\log 5$ را محاسبه کنید.
$\log 5=\log \frac{10}{2}=\log 10-\log 2=1-\log 2\simeq 1-0/3=0/7$
خواندنی
همزمان با افزایش ارتفاع، فشار هوای اتمسفر (جو زمین) کاهش مییابد. رابطه محاسبه فشار براساس ارتفاع بهصورت $a=15500\left( 5-\log _{10}^{p} \right)$ است، که در آن $a$ ارتفاع برحسب متر و $p$ نیز فشار برحسب پاسکال است. فشار هوا را در بالای قلهٔ دماوند به ارتفاع 5610 متر محاسبه کنید.
کار در کلاس (صفحه 112 کتاب درسی)
اگر $\log 2\simeq 0/3$ و $\log 3\simeq 0/48$، مقادیر تقریبی اعداد زیر را بهدست آورید.
$\log 12=\log (3\times 4)=\log 3+\log {{2}^{2}}=\log 3+2\log 2\simeq 0/48+0/6=1/08$ (الف
$\log 0/75=.......$ (ب
$\log \sqrt{5}=.......$ (پ
$\log \frac{25}{18}=.......$ (ت
$\log \sqrt[3]{6}=.......$ (ث
$\log \frac{\sqrt{27}}{\sqrt[4]{5}}=.......$ (ج
معادلات لگاریتمی
یکی از مهمترین کاربردهای لگاریتم، حل معادلات لگاریتمی است که معمولاً از مدلسازی یک مسئلهٔ واقعی بهدست میآید. مانند محاسبهٔ شدت زلزله، مشخص کردن ضعیفترین صدای قابل شنیدن یا آستانه شنوایی، پیشبینی تعداد جمعیت یک جامعه پس از زمان مشخص و محاسبهٔ نیمه عمر عناصر رادیواکتیو. معادلات زیر نمونههایی از معادلات لگاریتمیاند:
${{\log }_{4}}x+1=3\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{\log }_{3}}x={{\log }_{3}}7\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{\log }_{5}}x+{{\log }_{5}}(x-1)={{\log }_{5}}12$
منظور از حل معادلهٔ لگاریتمی، پیدا کردن مقادیری برای مجهول است که در معادله صدق کند.
فعالیت (صفحه 112 تا 113 کتاب درسی)
معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید.
${{\log }_{3}}x=2\to x={{3}^{2}}=9$ (1
${{\log }_{5}}(x+6)={{\log }_{5}}(2x-3)\to x+6=2x-3\to x=9$ (2
که $x=9$ برای هر دو لگاریتم قابل قبول است.
${{\log }_{5}}(x+6)+{{\log }_{5}}(x+2)=1\to {{\log }_{5}}\left[ (x+6)(x+2) \right]=1$ (3
$\to (x+6)(x+2)=5\to {{x}^{2}}+8x+12=5$
$x=-1$ یا $\to {{x}^{2}}+8x+7=0\to (x+7)(x+1)=0\to x=-7$
توجه کنید که $x=-7$ قابل قبول نیست؛ از این رو تنها جواب $x=-1$ قابل قبول است که در معادلهٔ اصلی صدق میکند.
${{\log }_{4}}(x+2)={{\log }_{4}}8\to x+2=8\to x=...$ (4
$3{{\log }_{2}}x=-{{\log }_{2}}27\to {{\log }_{2}}{{x}^{3}}=.......\to .......$ (5
$\log (x+1)-\log (x-3)=3\to \log \frac{x+1}{x-3}=3\to .......$ (6
کار در کلاس (صفحه 113 کتاب درسی)
معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید.
${{\log }_{5}}x=3..........$ (1
${{\log }_{2}}(2x+1)=3..........$ (2
${{\log }_{2}}(x+1)+{{\log }_{2}}(x+4)=2..........$ (3
${{\log }_{3}}243=2x+1..........$ (4
${{\log }_{3}}(x-1)=4..........$ (5
$\log (2x)-\log (x-3)=1..........$ (6
$2{{\log }_{4}}(x-1)=3..........$ (7
تمرین (صفحه 113 تا 114 کتاب درسی)
1) تساویهای زیر را ثابت کنید.
($a$ و $b$ و $c$ و $d$ اعداد حقیقی مثبتاند و $c\ne 1$) ${{\log }_{c}}abd={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b+{{\log }_{c}}d$ (الف
($a$ و $b$ و $c$ اعداد حقیقی مثبتاند و $c\ne 1$ و $b$) ${{\log }_{b}}a=\frac{{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}b}$ (ب
($a$ و $b$ اعداد حقیقی مثبتاند و $a\ne 1$) ${{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$ (پ
${{\log }_{b}}a\times {{\log }_{a}}b=1$ (ت
2) حاصل عبارات زیر را بهدست آورید.
${{\log }_{7}}\sqrt[5]{49}$ (الف
${{\log }_{3}}{{27}^{\frac{1}{2}}}$ (ب
$-{{\log }_{5}}125$ (پ
$3{{\log }_{10}}\sqrt{1000}$ (ت
3) اگر $f(x)=3-2{{\log }_{4}}(\frac{x}{2}-5)$، مقدار $f(42)$ را بهدست آورید.
4) الف) اگر نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)={{\log }_{a}}x$ از نقطهٔ (2,2) عبور کند، مقدار $a$ را بهدست آورید.
ب) اگر نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)={{\log }_{a}}x$ از نقطهٔ $(\frac{1}{2}\,,\,-4)$ عبور کند، مقدار $a$ چند است؟
5) نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{\log }_{\frac{1}{3}}}x$ را رسم کنید.
6) کدام یک از گزارههای زیر درست و کدام نادرست است؟
الف) اگر $y={{\log }_{a}}x$، آنگاه ${{a}^{x}}=y$.
ب) نمودار تابع با ضابطهٔ $(0\lt a\lt 1)y={{\log }_{a}}x$ از نقطهٔ (1,0) عبور میکند.
پ) لگاریتم اعداد منفی تعریف نمیشود.
7) معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید.
${{\log }_{3}}({{p}^{2}}-2)={{\log }_{3}}p$ (الف
${{\log }_{5}}(x+1)+{{\log }_{5}}(x-1)=1$ (ب
$3{{\log }_{4}}a-{{\log }_{4}}5={{\log }_{4}}25$ (پ
${{\log }_{\frac{1}{10}}}({{x}^{2}}-21)=-2$ (ت
